ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = 2x + x^2 	an x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.

Vedclass · Accepted Answer

$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) - y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \pi - \sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 	an x$ અને $Q = 2x + x^2 	an x$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ છે.બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,આપણને $y \sec x = \int (2x + x^2 	an x) \sec x dx$ મળે છે.$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x 	an x dx$.નોંધો કે $\frac{d}{dx}(x^2 \sec x) = 2x \sec x + x^2 \sec x 	an x$ થાય છે.તેથી,$y \sec x = x^2 \sec x + C$.$\sec x$ વડે ભાગતા,$y = x^2 + C \cos x$ મળે છે.$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 0^2 + C \cos(0) \Rightarrow C = 1$.તેથી,$y = x^2 + \cos x$.હવે,$y' = 2x - \sin x$.$y'\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2\left( \frac{\pi}{4} ight) - \sin\left( \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.$y'\left( -\frac{\pi}{4} ight) = 2\left( -\frac{\pi}{4} ight) - \sin\left( -\frac{\pi}{4} ight) = -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.$y'\left( \frac{\pi}{4} ight) - y'\left( -\frac{\pi}{4} ight) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} ight) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} ight) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 1$ છે. તો

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x(x^2 + e^x) dy + (e^x(x-2)y - x^3) dx = 0, x > 0$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જે બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+8 \frac{d y}{d x}+16 y=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $\begin{vmatrix} f(x) & f'(x) \\ f'(x) & f''(x) \end{vmatrix} = 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય અને $f(0) = 1, f'(0) = 2$ હોય, તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module