मान लीजिए P परवलय y^{2}=12x पर एक बिंदु है और | vedclass

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Question

(C) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है,इसलिए $4a=12$,जिसका अर्थ है $a=3$ है।मान लीजिए $P = (3t^{2}, 6t)$ है। चूंकि $N$ अक्ष ($x$-अक्ष) पर लंब का पाद है,इस

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$MQ = \frac{1}{4}$

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(C) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है,इसलिए $4a=12$,जिसका अर्थ है $a=3$ है।मान लीजिए $P = (3t^{2}, 6t)$ है। चूंकि $N$ अक्ष ($x$-अक्ष) पर लंब का पाद है,इसलिए $N = (3t^{2}, 0)$ है।$PN$ का मध्य-बिंदु $M = (3t^{2}, 3t)$ है।$M$ से होकर जाने वाली और अक्ष के समानांतर रेखा $y=3t$ है।चूंकि $Q$ परवलय $y^{2}=12x$ पर स्थित है और इसका $y$-निर्देशांक $3t$ है,इसलिए $(3t)^{2} = 12x_Q$,जिससे $9t^{2} = 12x_Q$,अर्थात $x_Q = \frac{3}{4}t^{2}$ प्राप्त होता है। अतः $Q = (\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ है।रेखा $NQ$,$N(3t^{2}, 0)$ और $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ से होकर गुजरती है।$NQ$ की ढाल $m = \frac{3t-0}{\frac{3}{4}t^{2}-3t^{2}} = \frac{3t}{-\frac{9}{4}t^{2}} = -\frac{4}{3t}$ है।रेखा $NQ$ का समीकरण $y - 0 = -\frac{4}{3t}(x - 3t^{2})$ है।$y$-अंतःखंड ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर: $y = -\frac{4}{3t}(-3t^{2}) = 4t$ प्राप्त होता है।चूंकि $y$-अंतःखंड $\frac{4}{3}$ दिया गया है,इसलिए $4t = \frac{4}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ है।अब,$MQ$,$M(3t^{2}, 3t)$ और $Q(\frac{3}{4}t^{2}, 3t)$ के बीच की क्षैतिज दूरी है,इसलिए $MQ = |3t^{2} - \frac{3}{4}t^{2}| = \frac{9}{4}t^{2}$ है।$t = \frac{1}{3}$ रखने पर,$MQ = \frac{9}{4}(\frac{1}{3})^{2} = \frac{9}{4} 	imes \frac{1}{9} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।अतः,विकल्प $C$ सही है।

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परवलयों $y = x^{2}$ और $y = -x^{2} + 4x - 4$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है:

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