मान लीजिए {a_n} धनात्मक संख्याओं की गुणोत्तर | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है $\alpha = \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a

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$\frac{\alpha }{\beta }$

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(A) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है $\alpha = \sum_{n=1}^{100} a_{2n} = a_2 + a_4 + \dots + a_{200}$।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = ar$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।अतः,$\alpha = ar + ar^3 + \dots + ar^{199} = ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$।दिया गया है $\beta = \sum_{n=1}^{100} a_{2n-1} = a_1 + a_3 + \dots + a_{199}$।यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = a$ और सार्व अनुपात $r^2$ है।अतः,$\beta = a + ar^2 + \dots + ar^{198} = a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})$।$\alpha$ को $\beta$ से विभाजित करने पर:$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{ar(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})}{a(1 + r^2 + r^4 + \dots + r^{198})} = r$।अतः,सार्व अनुपात $\frac{\alpha}{\beta}$ है।

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