ધારો કે $s$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ દર્શાવે છે,જેમાં $BC = a, CA = b, AB = c$ છે. જો એક વર્તુળ બાજુઓ $BC, CA, AB$ ને અનુક્રમે $D, E, F$ બિંદુઓમાં સ્પર્શતું હોય,તો સાબિત કરો કે $BD = s - b$.

(N/A) એક વર્તુળ $\triangle ABC$ માં અંતઃવૃત છે,જે બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ બિંદુઓમાં સ્પર્શે છે.
આપેલ છે કે,$BC = a, CA = b$ અને $AB = c$.
બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે,તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\therefore BD = BF = x$ (ધારો)
$DC = CE = y$ (ધારો)
$AE = AF = z$ (ધારો)
$\triangle ABC$ ની પરિમિતિ $= BC + CA + AB = a + b + c$.
કારણ કે $2s = a + b + c$,તેથી:
$(BD + DC) + (CE + EA) + (AF + FB) = a + b + c$
$(x + y) + (y + z) + (z + x) = a + b + c$
$2(x + y + z) = 2s$
$x + y + z = s$
આપણે $BD = x$ શોધવાનું છે.
સમીકરણ $x + y + z = s$ પરથી,આપણને $x = s - (y + z)$ મળે છે.
કારણ કે $b = CA = CE + EA = y + z$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = s - b$
તેથી,$BD = s - b$.
આમ,સાબિત થાય છે.