मान लीजिए कि [t],t से छोटा या उसके बराबर महत् | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = x - [x]$ और $g(x) = 1 - (x - [x])$। मान लीजिए ${x} = x - [x]$। तो $f(x) = {x}$ और $g(x) = 1 - {x}$।$h(x) = \min \{ {x}, 1 - {x

Vedclass · Accepted Answer

$[-2, 2]$ में सतत है लेकिन $(-2, 2)$ में चार से अधिक बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = x - [x]$ और $g(x) = 1 - (x - [x])$। मान लीजिए ${x} = x - [x]$। तो $f(x) = {x}$ और $g(x) = 1 - {x}$।$h(x) = \min \{ {x}, 1 - {x} \}$।प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ के लिए,${x} = x - n$। अतः $h(x) = \min \{ x-n, 1-x+n \}$।$f(x)$ और $g(x)$ के ग्राफ तब प्रतिच्छेद करते हैं जब ${x} = 1 - {x}$,जिसका अर्थ है $2{x} = 1$,या ${x} = 0.5$।प्रत्येक अंतराल $[n, n+1)$ में,फलन $h(x)$ $0$ से $0.5$ तक बढ़ता है और फिर $0.5$ से $0$ तक घटता है।चूंकि $h(x)$ हर जगह सतत है और ग्राफ $x = n$ (जहाँ ${x}=0$) और $x = n + 0.5$ (जहाँ ${x}=0.5$) पर नुकीले कोने दिखाता है,इसलिए हम $(-2, 2)$ में उन बिंदुओं की गणना करते हैं जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है।ये बिंदु $x = -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5$ हैं। ऐसे कुल $7$ बिंदु हैं।चूंकि $7 > 4$,विकल्प $A$ सही है।

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फलन $f(x)=\frac{x-1}{x^3+6x^2+11x+6}$ के लिए $\mathbb{R}$ में असांतत्य (discontinuities) की संख्या है

फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{x+5}{x-2}, & \text{यदि } x \neq 2 \\ 1, & \text{यदि } x=2 \end{cases}$ पर विचार करें। तब,$f(f(x))$ असंतत है

यदि $f(x) = \begin{cases} 1 + \cos x, & x \le 0 \\ a - x, & 0 < x < 2 \\ (x - b)^2, & x \ge 2 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ और $x=2$ पर सतत है, तो $a^2+b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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