मान लीजिए f:[0,3] rightarrow R को f(x)=min {x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \min \{x-[x], 1+[x]-x\}$। मान लीजिए ${x} = x-[x]$। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1-\{x\}\}$।$x \in [0, 3)$ के लिए,फलन ${x}$ का आवर्

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$5$

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(A) दिया गया है $f(x) = \min \{x-[x], 1+[x]-x\}$। मान लीजिए ${x} = x-[x]$। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1-\{x\}\}$।$x \in [0, 3)$ के लिए,फलन ${x}$ का आवर्तकाल $1$ है। $f(x)$ का आरेख $0$ और $3$ के बीच त्रिकोणीय तरंगों जैसा है।विशेष रूप से,$f(x) = \{x\}$ जब $0 \le \{x\} \le 1/2$ और $f(x) = 1-\{x\}$ जब $1/2 $1$. सांतत्य: फलन $f(x)$ अंतराल $[0, 3]$ पर हर जगह सतत है क्योंकि ${x}$ पूर्णांकों को छोड़कर सतत है,लेकिन $\min$ फलन इसे पूर्णांकों पर भी सतत बनाता है। अतः,$P = \emptyset$ और $P$ में अवयवों की संख्या $0$ है।$2$. अवकलनीयता: फलन $f(x)$ उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ दोनों व्यंजक समान हैं,अर्थात ${x} = 1/2$,और जहाँ ${x}$ असतत है,अर्थात $x \in \{1, 2\}$।अंतराल $(0, 3)$ में,${x} = 1/2$ का मान $x \in \{1/2, 3/2, 5/2\}$ पर प्राप्त होता है।वे बिंदु जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है,वे $Q = \{1/2, 1, 3/2, 2, 5/2\}$ हैं।$Q$ में अवयवों की संख्या $5$ है।$P$ और $Q$ में अवयवों की संख्या का योग = $0 + 5 = 5$।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$A$. $x\|x\|$	$I$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और सतत
$B$. $\sqrt{\|x\|}$	$II$. $(-1,1)$ में सतत लेकिन अवकलनीय नहीं
$C$. $x+[x]$	$III$. $(-1,1)$ में अवकलनीय
$D$. $\|x-1\|+\|x+1\|+\|x\|$	$IV$. $(-1,0) \cup (0,1)$ में अवकलनीय
	$V$. $(-1,1)$ में निरंतर वर्धमान और अवकलनीय नहीं

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