माना C सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। म | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $S_{1}: |z-2| \leq 1$,जो $(2, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।दिया गया है $S_{2}: z(1+i)+\overline{z}(1-i) \geq 4$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5+2 \sqrt{2}}{4}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $S_{1}: |z-2| \leq 1$,जो $(2, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।दिया गया है $S_{2}: z(1+i)+\overline{z}(1-i) \geq 4$. माना $z = x+iy$. तब $\overline{z} = x-iy$.इन मानों को असमिका में रखने पर:$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq 4$$(x - y + i(x+y)) + (x - y - i(x+y)) \geq 4$$2x - 2y \geq 4 \implies y \leq x-2$.हमें $z \in S_{1} \cap S_{2}$ के लिए $|z - 2.5|^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।रेखा $y = x-2$ वृत्त के केंद्र $(2,0)$ से होकर गुजरती है।वृत्त $(x-2)^2 + y^2 = 1$ और रेखा $y = x-2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = x-2$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:$(x-2)^2 + (x-2)^2 = 1 \implies 2(x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.अतः $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. संगत $y$ मान $y = x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु $(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।बिंदु $P = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्रतिच्छेदन क्षेत्र में $2.5 + 0i$ से सबसे दूर का बिंदु है।$|z - 2.5|^2 = |(2 - \frac{1}{\sqrt{2}} - 2.5) - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = |-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2$$= (-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{4}$.

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