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Question

(B) रेखा बिंदु $(2, -1, -3)$ से होकर गुजरती है। चूँकि रेखा समतल $px - qy + z = 5$ पर स्थित है,इसलिए यह बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:$p(2) - q

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$\sqrt{\frac{5}{142}}$

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(B) रेखा बिंदु $(2, -1, -3)$ से होकर गुजरती है। चूँकि रेखा समतल $px - qy + z = 5$ पर स्थित है,इसलिए यह बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:$p(2) - q(-1) + (-3) = 5 \Rightarrow 2p + q = 8$  --- $(i)$रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -2, -1)$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = (p, -q, 1)$ है। चूँकि रेखा समतल पर स्थित है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:$3(p) + (-2)(-q) + (-1)(1) = 0 \Rightarrow 3p + 2q = 1$  --- $(ii)$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $4p + 2q = 16$इसमें से $(ii)$ घटाने पर: $(4p + 2q) - (3p + 2q) = 16 - 1 \Rightarrow p = 15$$p = 15$ को $(i)$ में रखने पर: $2(15) + q = 8 \Rightarrow 30 + q = 8 \Rightarrow q = -22$समतल का समीकरण $15x + 22y + z = 5$ या $15x + 22y + z - 5 = 0$ है।मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।$d = \frac{|-5|}{\sqrt{15^2 + 22^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{225 + 484 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{710}} = \sqrt{\frac{25}{710}} = \sqrt{\frac{5}{142}}$.

मान लीजिए कि $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+3}{-1}$ समतल $px-qy+z=5$ पर स्थित है,जहाँ $p, q \in R$ है। मूल बिंदु से समतल की न्यूनतम दूरी क्या है?

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