ધારો કે $P(x)$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી છે જેથી તમામ $x \in [0, \pi/2)$ માટે $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ થાય. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I.$ $P(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
$II.$ $P(x)$ ને $(2x - 1)^2$ માં બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$III.$ $P(x)$ એ યુગ્મ ઘાતવાળી બહુપદી છે.
તો,

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ અનુક્રમે $f(x) = x + 1$ અને $g(x) = 2x - 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $f+g$,$f-g$ અને $\frac{f}{g}$ શોધો.

ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = - \frac{|x|^3 + |x|}{1 + x^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે; તો $f(x)$ નો આલેખ કયા ચરણમાં આવેલો છે :-

ધારો કે $S = \mathbb{N} \cup \{0\}$. $S$ થી $\mathbb{R}$ પર એક સંબંધ $R$ આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરો: $R = \{(x, y) : \log_e y = x \log_e \left(\frac{2}{5}\right), x \in S, y \in \mathbb{R}\}$. તો,$R$ ના વિસ્તારના તમામ ઘટકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $f_1: R \rightarrow R$,$f_2:[0, \infty) \rightarrow R$,$f_3: R \rightarrow R$ અને $f_4: R \rightarrow [0, \infty)$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f_1(x) = \begin{cases} |x| & \text{જો } x < 0 \\ e^x & \text{જો } x \geq 0 \end{cases}$
$f_2(x) = x^2$
$f_3(x) = \begin{cases} \sin x & \text{જો } x < 0 \\ x & \text{જો } x \geq 0 \end{cases}$ અને
$f_4(x) = \begin{cases} f_2(f_1(x)) & \text{જો } x < 0 \\ f_2(f_1(x)) - 1 & \text{જો } x \geq 0 \end{cases}$

યાદી $I$	યાદી $II$
$P. f_4$ એ	$1. \text{વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી}$
$Q. f_3$ એ	$2. \text{ન તો સતત છે ન તો એક-એક}$
$R. f_2 \circ f_1$ એ	$3. \text{વિકલનીય છે પણ એક-એક નથી}$
$S. f_2$ એ	$4. \text{સતત અને એક-એક છે}$

કોડ્સ: $P \quad Q \quad R \quad S$

વિધેય $f(x) = x^3 - 8x^2 + 20x - 13$ ધ્યાનમાં લો. $x$ ના એવા કેટલા ધન પૂર્ણાંકો છે જેના માટે $f(x)$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય?