मान लीजिए n geq 3 है। संख्याओं की एक सूची x_1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ है।नई सूची के लिए,माध्य $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (y_1 + y_2 + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \f

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$\mu = \hat{\mu}$ और $\sigma \geq \hat{\sigma}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि माध्य $\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$ है।नई सूची के लिए,माध्य $\hat{\mu} = \frac{1}{n} (y_1 + y_2 + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} (\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_1+x_2}{2} + \sum_{j=3}^{n} x_j) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \mu$ है।अब,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \mu^2$ और $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum y_i^2 - \hat{\mu}^2$ पर विचार करें।चूंकि $\hat{\mu} = \mu$ है,हम $\sum x_i^2$ और $\sum y_i^2$ की तुलना करते हैं।$\sum x_i^2 - \sum y_i^2 = (x_1^2 + x_2^2) - (y_1^2 + y_2^2) = x_1^2 + x_2^2 - 2(\frac{x_1+x_2}{2})^2 = \frac{(x_1-x_2)^2}{2} \geq 0$ है।अतः,$\sum x_i^2 \geq \sum y_i^2$,जिसका अर्थ है कि $\sigma^2 \geq \hat{\sigma}^2$,इसलिए $\sigma \geq \hat{\sigma}$ है।

$X_i$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
आवृत्ति $f_i$	$3$	$6$	$16$	$\alpha$	$9$	$5$	$6$

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$X_i$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$

आवृत्ति $f_i$ $3$ $6$ $16$ $\alpha$ $9$ $5$ $6$

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