ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $P$ એ $ABC$ ની અંદરનું એક બિંદુ છે જેથી $\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ થાય. $\triangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળ અને $\triangle APC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.

સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના માન અનુક્રમે $3, 4, 5$ છે. જો $\vec{a}$ અને $\vec{b} + \vec{c}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c} + \vec{a}$,તથા $\vec{c}$ અને $\vec{a} + \vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ નું માન શોધો.

કોઈપણ બે શૂન્યતર સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,$(a \vec{b} + b \vec{a}) \cdot (a \vec{b} - b \vec{a})$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = 7\hat{i} + \hat{j} - 6\hat{k}$. જો $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = -3$ હોય,તો $\overrightarrow{r} \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો છે. શિરોબિંદુઓમાંથી બાજુઓને સમાંતર રેખાઓ દોરીને ત્રિકોણ $A'B'C'$ બનાવવામાં આવે છે. તો $\Delta A'B'C'$ નું મધ્યકેન્દ્ર શું છે?

જો એક સમગુણોત્તર શ્રેણીના $p$-મું, $q$-મું અને $r$-મું પદ અનુક્રમે ધન સંખ્યાઓ $a, b$ અને $c$ હોય, તો સદિશો $(\log a^2) i + (\log b^2) j + (\log c^2) k$ અને $(q-r) i + (r-p) j + (p-q) k$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.