मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है और P,ABC के अंदर | vedclass

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Question

(D) दिया गया है,$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec{0}$।मान लीजिए $A, B, C$ और $P$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a

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$3$

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(D) दिया गया है,$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec{0}$।मान लीजिए $A, B, C$ और $P$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{p}$ हैं।अतः,$(\vec{a} - \vec{p}) + 2(\vec{b} - \vec{p}) + 3(\vec{c} - \vec{p}) = \vec{0}$।$\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c} = 6\vec{p} \implies \vec{p} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}$।$	riangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a}|$ द्वारा दिया जाता है।$	riangle APC$ का क्षेत्रफल $\Delta_{APC} = \frac{1}{2} |\vec{p} 	imes \vec{a} + \vec{a} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{p}|$ द्वारा दिया जाता है।$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर:$\Delta_{APC} = \frac{1}{2} |\frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6} 	imes \vec{a} + \vec{a} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}|$$= \frac{1}{12} |\vec{a} 	imes \vec{a} + 2\vec{b} 	imes \vec{a} + 3\vec{c} 	imes \vec{a} + 6(\vec{a} 	imes \vec{c}) + \vec{c} 	imes \vec{a} + 2\vec{c} 	imes \vec{b} + 3\vec{c} 	imes \vec{c}|$$= \frac{1}{12} |0 - 2(\vec{a} 	imes \vec{b}) + 3(\vec{c} 	imes \vec{a}) - 6(\vec{c} 	imes \vec{a}) + (\vec{c} 	imes \vec{a}) - 2(\vec{b} 	imes \vec{c}) + 0|$$= \frac{1}{6} |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a}| = \frac{1}{3} \Delta$।अतः,$\frac{	ext{Area}(	riangle ABC)}{	ext{Area}(	riangle APC)} = 3$।

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