मान लीजिए R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय | vedclass

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Question

(D) $x 
eq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है: $f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}ight)^n$

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$4$ से अधिक अवयव हैं

Vedclass · Answer

(D) $x 
eq 0$ के लिए,फलन एक गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दिया गया है: $f(x) = |x|^\alpha \sum \limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{1+x^2}ight)^n$. चूंकि $x 
eq 0$ के लिए $|\frac{1}{1+x^2}| अतः,$f(x) = |x|^\alpha \cdot \frac{1+x^2}{x^2} = |x|^\alpha \cdot |x|^{-2} (1+x^2) = |x|^{\alpha-2} (1+x^2)$। $f$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 0$ होना चाहिए। $\lim_{x 	o 0} |x|^{\alpha-2} (1+x^2) = 0$ तभी संभव है जब $\alpha - 2 > 0$,जिसका अर्थ है $\alpha > 2$। ऐसी वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय अंतराल $(2, \infty)$ है। चूंकि इस अंतराल में अनंत वास्तविक संख्याएं हैं,इसलिए समुच्चय में $4$ से अधिक अवयव हैं।

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यदि वास्तविक मान फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{(4^x - 1)^4 \cot(x \log 4)}{\sin(x \log 4) \log(1 + x^2 \log 4)}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है, तो $e^k = $

$f(x) = \begin{cases} 3x - 8 & \text{यदि } x \leq 5 \\ 2k & \text{यदि } x > 5 \end{cases}$ सतत है,तो $k$ ज्ञात कीजिए।

यदि $\begin{aligned} f(x) &= \frac{4 \sin \pi x}{5 x} \text{ जहाँ } x \neq 0 \\ &= 2k \text{ जहाँ } x = 0 \end{aligned}$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x)=\frac{x-1}{x^3+6x^2+11x+6}$ के लिए $\mathbb{R}$ में असांतत्य (discontinuities) की संख्या है

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