माना कि $\vec{u}=\hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$,$\vec{v}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{v} \cdot \vec{w}=2$ और $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}+\lambda\vec{v}$ है। तो $\vec{u} \cdot \vec{w}$ का मान $......$ है।

$a$ और $b$ इकाई सदिश हैं ताकि $a+2b$ भी एक इकाई सदिश हो। यदि $\theta$,$a$ और $b$ के बीच का कोण है,तो $\sin \theta + \cos^3 \theta + \tan^5 \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{\alpha}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{\beta}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{\gamma}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ तीन सदिश हैं। $\vec{\alpha}$ और $\vec{\beta}$ के समतल में स्थित एक सदिश $\vec{\delta}$, जिसका $\vec{\gamma}$ पर प्रक्षेप $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है, ज्ञात कीजिए।

सदिश $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का सदिशों $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ के योग की दिशा में इकाई सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ है। $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $e$ बिंदुओं $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है। यदि $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ है, तो $e$ पर $a$ का प्रक्षेप सदिश क्या है?

$xy$-समतल में एक इकाई सदिश जो सदिश $(i + j)$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण और सदिश $(3i - 4j)$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है,वह है: