माना f(x) = begin{cases} x^2 sin left(frac{1} | vedclass

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Question

(B) $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}ight)$. चूंकि $|\sin(1/x)| \leq 1$,हमारे पास $|x^2

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$f$ सतत है लेकिन $f^{\prime}$ सतत नहीं है

Vedclass · Answer

(B) $x=0$ पर $f(x)$ की सांतत्यता: $\lim_{x 	o 0} f(x) = \lim_{x 	o 0} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}ight)$. चूंकि $|\sin(1/x)| \leq 1$,हमारे पास $|x^2 \sin(1/x)| \leq x^2$ है। स्क्वीज़ प्रमेय द्वारा,$\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)$. अतः,$f(x)$ $x=0$ पर सतत है।$x=0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता: $f^{\prime}(0) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h 	o 0} h \sin(1/h) = 0$. चूंकि सीमा का अस्तित्व है,$f(x)$ $x=0$ पर अवकलनीय है और $f^{\prime}(0) = 0$.$x=0$ पर $f^{\prime}(x)$ की सांतत्यता: $x 
eq 0$ के लिए,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [x^2 \sin(1/x)] = 2x \sin(1/x) + x^2 \cos(1/x) (-1/x^2) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x)$.जैसे $x 	o 0$,$2x \sin(1/x) 	o 0$,लेकिन $\lim_{x 	o 0} \cos(1/x)$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि यह दोलन करता है। इसलिए,$\lim_{x 	o 0} f^{\prime}(x)$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ $x=0$ पर सतत नहीं है।

माना $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & , x \neq 0 \\ 0 & , x=0 \end{cases}$. तो $x=0$ पर:

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यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -2\sin x, & x \le -\frac{\pi}{2} \\ A\sin x + B, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$ हर जगह सतत है,तो $A$ और $B$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} 5x - 4, & 0 < x \le 1 \\ 4x^2 + 3bx, & 1 < x < 2 \end{cases}$ अपने प्रांत के प्रत्येक बिंदु पर सतत है,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x, & x \leq 0 \\ e^{ax+b}, & x > 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और यह एक सतत फलन है,तो:

फलन $f(x) = \begin{cases} x + 2, & 1 \le x \le 2 \\ 4, & x = 2 \\ 3x - 2, & x > 2 \end{cases}$ किस बिंदु पर संतत है?

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