मान लीजिए $A$,$x$-अक्ष पर एक बिंदु है। $A$ से वक्रों $x^2+y^2=8$ और $y^2=16x$ पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। यदि इनमें से एक स्पर्श रेखा दोनों वक्रों को $Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है,तो $(QR)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P$ परवलय $y^2=4x$ पर स्थित वह बिंदु है जो वृत्त $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ के केंद्र $S$ से न्यूनतम दूरी पर है। मान लीजिए $Q$ वृत्त पर स्थित वह बिंदु है जो रेखाखंड $SP$ को आंतरिक रूप से विभाजित करता है। तो
$(A)$ $SP=2\sqrt{5}$
$(B)$ $SQ:QP=(\sqrt{5}+1):2$
$(C)$ $P$ पर परवलय के अभिलंब का $x$-अंतःखंड $6$ है
$(D)$ $Q$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{1}{2}$ है

मूल बिंदु पर केंद्र वाले एक इकाई वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जाता है और ये स्पर्श रेखाएं बिंदु $A$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जो $60^o$ का कोण बनाती हैं। इन स्पर्श रेखाओं और वृत्त के चाप द्वारा घिरा क्षेत्रफल है

एक समबाहु त्रिभुज $OAB$ परवलय $y^{2}=4x$ में अंतर्निहित है, जिसका शीर्ष $O$ मूल बिंदु पर है। तब $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त की मूल बिंदु से न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर बिंदु $(3 \sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब $y$-अक्ष को क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलते हैं। मान लीजिए कि $AB$ को व्यास मानकर एक वृत्त $C$ खींचा जाता है और रेखा $x = 2 \sqrt{5}$ वृत्त $C$ को बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटती है। यदि वृत्त पर बिंदुओं $P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाएं बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\alpha^2 - \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $r$ उस वृत्त की त्रिज्या है,जो $x$-अक्ष को बिंदु $(a, 0)$ पर स्पर्श करता है,जहाँ $a < 0$,और परवलय $y^2 = 9x$ को बिंदु $(4, 6)$ पर स्पर्श करता है। तो $r$ का मान . . . . . . है।