मान लीजिए f(x) = sum_{k=1}^{10} kx^k,x in R ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^k = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 10x^{10}$।हम जानते हैं कि $f'(x) = \sum_{k=1}^{10} k^2 x^{k-1}$।अतः,$f(2) = \

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$10$

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(B) दिया गया है $f(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^k = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + 10x^{10}$।हम जानते हैं कि $f'(x) = \sum_{k=1}^{10} k^2 x^{k-1}$।अतः,$f(2) = \sum_{k=1}^{10} k(2^k)$ और $f'(2) = \sum_{k=1}^{10} k^2(2^{k-1})$।सर्वसमिका $g(x) = \sum_{k=1}^{10} x^k = \frac{x(1-x^{10})}{1-x}$ पर विचार करें।$g(x)$ का अवकलन करने पर,हमें $g'(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^{k-1} = f(x)/x$ प्राप्त होता है।साथ ही,$f(x) = x g'(x)$।तब $f'(x) = g'(x) + x g''(x)$।अतः,$2f(2) + f'(2) = 2(2g'(2)) + (g'(2) + 2g''(2)) = 5g'(2) + 2g''(2)$।वैकल्पिक रूप से,$\sum k x^k$ के योग के गुण का उपयोग करते हुए,$n=10$ के लिए $f(x) = \frac{x(1-(n+1)x^n + nx^{n+1})}{(1-x)^2}$ प्राप्त होता है।$x=2$ पर मान रखने पर,$f(2) = \frac{2(1-11(2^{10}) + 10(2^{11}))}{(1-2)^2} = 2(1 - 11(1024) + 20480) = 2(1 - 11264 + 20480) = 2(9217) = 18434$।$f'(2)$ की गणना करके और मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2f(2) + f'(2) = 119(2^{10}) + 1$ प्राप्त होता है।अतः,$n = 10$।

मान लीजिए $f(x) = \sum_{k=1}^{10} kx^k$,$x \in R$ है। यदि $2f(2) + f'(2) = 119(2)^n + 1$ है,तो $n$ का मान $..........$ है।

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