मान लीजिए कि $A$ एक ऐसा वर्ग आव्यूह है कि $AA^T = I$ है। तो $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $M$ और $N$ दो $3 \times 3$ आव्यूह हैं जैसे कि $MN = NM$। इसके अलावा,यदि $M \neq N^2$ और $M^2 = N^4$ है,तो:
$(A)$ $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $0$ है
$(B)$ एक $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूह $U$ मौजूद है जिससे $(M^2 + MN^2)U$ शून्य आव्यूह है
$(C)$ $(M^2 + MN^2)$ का सारणिक $\geq 1$ है
$(D)$ एक $3 \times 3$ आव्यूह $U$ के लिए,यदि $(M^2 + MN^2)U$ शून्य आव्यूह है तो $U$ शून्य आव्यूह है

मान लीजिए $M$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $3 \times 3$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है और $I$,$3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है। यदि $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $ALWAYS \text{ } TRUE$ है/हैं?

मान लीजिए कि आव्यूह $A$ और $B$ इस प्रकार परिभाषित हैं: $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$. तो $\det(2A^9B^{-1})$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित गणितीय कथनों को ध्यानपूर्वक पढ़ें:
$I$. ऐसे दो त्रिभुज हो सकते हैं कि एक त्रिभुज की सभी भुजाएँ $1 \text{ cm}$ से कम हों जबकि दूसरे त्रिभुज की सभी भुजाएँ $10 \text{ m}$ से बड़ी हों,लेकिन पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल दूसरे त्रिभुज के क्षेत्रफल से अधिक हो।
$II$. यदि $x, y, z$ सभी अलग-अलग वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $\frac{1}{(x - y)^2} + \frac{1}{(y - z)^2} + \frac{1}{(z - x)^2} = \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{y - z} + \frac{1}{z - x} \right)^2$.
$III$. $\log_3 x \cdot \log_4 x \cdot \log_5 x = (\log_3 x \cdot \log_4 x) + (\log_4 x \cdot \log_5 x) + (\log_5 x \cdot \log_3 x)$ केवल $x$ के एक वास्तविक मान के लिए सत्य है।
$IV$. एक आव्यूह में $12$ अवयव हैं। इसकी संभावित कोटियों की संख्या $6$ है। अब सही विकल्प इंगित करें।

मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक घनमूल है और $S$ उन सभी गैर-शून्य आव्यूहों का समुच्चय है जो $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ के रूप में हैं,जहाँ $a, b$ और $c$ में से प्रत्येक या तो $\omega$ है या $\omega^2$ है। तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या है