मान लीजिए f: R rightarrow R और g: R rightarro | vedclass

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Question

(B) हमें $f(x) = \begin{cases} \ln x & x > 0 \ e^{-x} & x \leq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x & x \geq 0 \ e^x & x < 0 \end{cases}$ दिया

Vedclass · Accepted Answer

न तो एकैकी है और न ही आच्छादक

Vedclass · Answer

(B) हमें $f(x) = \begin{cases} \ln x & x > 0 \ e^{-x} & x \leq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} x & x \geq 0 \ e^x & x $(gof)(x) = g(f(x))$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ के मामलों का विश्लेषण करते हैं:स्थिति $1$: $x \leq 0$. तो $f(x) = e^{-x}$. सभी $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए $g(f(x)) = f(x) = e^{-x}$.स्थिति $2$: $x > 0$. तो $f(x) = \ln x$.उप-स्थिति 2a: $0 उप-स्थिति 2b: $x \geq 1$. तो $f(x) = \ln x \geq 0$. अतः $g(f(x)) = f(x) = \ln x$.इन सबको मिलाने पर,$(gof)(x) = \begin{cases} e^{-x} & x \leq 0 \ x & 0 एकैकी की जाँच: $x \leq 0$ के लिए,$g(f(x)) = e^{-x} \in [1, \infty)$। $0 चूंकि $g(f(x))$ का परिसर $[0, \infty)$ है,यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि सह-प्रांत $R$ है)।साथ ही,$x \leq 0$ के लिए,$g(f(x)) \geq 1$,और $x \geq 1$ के लिए,$g(f(x)) \geq 0$। परिसर में ऐसे मान मौजूद हैं जो एक से अधिक $x$ द्वारा प्राप्त होते हैं,और फलन एकैकी नहीं है। अतः,यह न तो एकैकी है और न ही आच्छादक।

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