माना y=y(x) अवकल समीकरण frac{d y}{d x}+frac{2 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ है।यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के

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$18$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} y=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ है।यह $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x)=\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2}$ और $Q(x)=x e^{\frac{1}{\left(1+x^2\right)}}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) d x} = e^{\int \frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} d x} = e^{-\frac{1}{1+x^2}}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF d x + C$ है।$y \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} = \int x e^{\frac{1}{1+x^2}} \cdot e^{-\frac{1}{1+x^2}} d x + C = \int x d x + C = \frac{x^2}{2} + C$.चूँकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 \cdot e^{-1} = 0 + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।अतः,$y(x) = \frac{x^2}{2} e^{\frac{1}{1+x^2}}$.चूँकि $f(x) = y(x) e^{-\frac{1}{1+x^2}}$,हमें $f(x) = \frac{x^2}{2}$ प्राप्त होता है।वक्र $f(x) = \frac{x^2}{2}$ और रेखा $y = \frac{x}{4} + 2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A = \int_{-2}^{4} \left( \frac{x}{4} + 2 - \frac{x^2}{2} \right) d x$ द्वारा प्राप्त होता है,जिसकी गणना करने पर $18$ प्राप्त होता है।

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