ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ (1+x^2) frac{dy} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{	an^{-1} x}$ છે.$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}(1-e^{\pi/2})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{	an^{-1} x}$ છે.$(1+x^2)$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{1+x^2} = \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2}$ મળે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{1+x^2}$ અને $Q = \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{1+x^2} dx} = e^{	an^{-1} x}$ છે.ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y \cdot e^{	an^{-1} x} = \int \frac{e^{	an^{-1} x}}{1+x^2} \cdot e^{	an^{-1} x} dx$.ધારો કે $	an^{-1} x = z$,તો $\frac{1}{1+x^2} dx = dz$.$y \cdot e^{	an^{-1} x} = \int e^{2z} dz = \frac{e^{2z}}{2} + C = \frac{e^{2	an^{-1} x}}{2} + C$.$y(1) = 0$ આપેલ છે,તેથી $0 \cdot e^{	an^{-1}(1)} = \frac{e^{2	an^{-1}(1)}}{2} + C \Rightarrow 0 = \frac{e^{\pi/2}}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{e^{\pi/2}}{2}$.આમ,$y \cdot e^{	an^{-1} x} = \frac{e^{2	an^{-1} x}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.$x=0$ માટે,$y \cdot e^{	an^{-1}(0)} = \frac{e^{2	an^{-1}(0)}}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2} \Rightarrow y \cdot 1 = \frac{1}{2} - \frac{e^{\pi/2}}{2}$.તેથી,$y(0) = \frac{1}{2}(1 - e^{\pi/2})$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(1)=0$ છે. તો $y(0)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ નો ઉકેલ છે; $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, y(0)=0$. તો,$y\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ની કિંમત ..... છે.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $ydx - xdy + \log x dx = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module