माना P=begin{bmatrix} 3 & -1 & -2 2 & 0 & al | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $PQ = kI$,अतः $Q = kP^{-1}$। चूंकि $P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} 	ext{adj}(P)$,इसलिए $Q = \frac{k}{\det(P)} 	ext{adj}(P)$। पहले,$\det(

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$B, C$

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(A) दिया गया है $PQ = kI$,अतः $Q = kP^{-1}$। चूंकि $P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} 	ext{adj}(P)$,इसलिए $Q = \frac{k}{\det(P)} 	ext{adj}(P)$। पहले,$\det(P) = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 15\alpha - 3\alpha + 20 = 12\alpha + 20$। अवयव $q_{23}$,$Q$ का $(2,3)$-वाँ अवयव है। $q_{23} = \frac{k}{\det(P)} 	imes (	ext{adj}(P))_{23} = \frac{k}{12\alpha + 20} 	imes (-1)^{2+3} M_{32} = \frac{-k(3\alpha + 4)}{4(3\alpha + 5)}$। चूंकि $q_{23} = -\frac{k}{8}$,इसलिए $\frac{3\alpha + 4}{4(3\alpha + 5)} = \frac{1}{8} \implies 6\alpha + 8 = 3\alpha + 5 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha = -1$। अतः $\det(P) = 8$। चूंकि $Q = kP^{-1}$,इसलिए $\det(Q) = \frac{k^3}{\det(P)} = \frac{k^3}{8}$। चूंकि $\det(Q) = \frac{k^2}{2}$,इसलिए $\frac{k^3}{8} = \frac{k^2}{2} \implies k = 4$। विकल्पों की जाँच करने पर: $(B)$ $4\alpha - k + 8 = 4(-1) - 4 + 8 = 0$। (सही) $(C)$ $\det(P 	ext{adj}(Q)) = \det(P) (\det(Q))^2 = 8 	imes (8)^2 = 512 = 2^9$। (सही)

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