मान लीजिए कि P, Q, R और S समतल पर स्थित बिंदु | vedclass

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Question

(A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,और $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ है

Vedclass · Accepted Answer

समांतर चतुर्भुज,जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत

Vedclass · Answer

(A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,और $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।सबसे पहले,हम विकर्णों $PR$ और $QS$ के मध्य बिंदुओं की जांच करते हैं:$PR$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{(-2\hat{i} - \hat{j}) + (3\hat{i} + 3\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.$QS$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{q} + \vec{s}}{2} = \frac{(4\hat{i}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.चूंकि विकर्णों के मध्य बिंदु समान हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।इसके बाद,हम भुजाओं के सदिशों की गणना करते हैं:$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\hat{i} - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 6\hat{i} + \hat{j}$.$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 3\hat{j}$.आयत के लिए जांच (आसन्न भुजाओं का डॉट गुणनफल):$\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = (6\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + 3\hat{j}) = (6)(-1) + (1)(3) = -6 + 3 = -3 
eq 0$.चूंकि डॉट गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए भुजाएं लंबवत नहीं हैं,अतः यह आयत नहीं है।समचतुर्भुज के लिए जांच (आसन्न भुजाओं की लंबाई):$|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$.$|\vec{PS}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.चूंकि $|\vec{PQ}| 
eq |\vec{PS}|$,भुजाएं समान नहीं हैं,इसलिए यह समचतुर्भुज नहीं है।अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत।

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