मान लीजिए [t],t से छोटा या उसके बराबर सबसे बड | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि किसी भी स्थिरांक $k > 0$ के लिए $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x[\frac{k}{x}] = k$ होता है। दी गई सीमा पर इसे लागू करने पर: $\lim_{x

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$24$

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(C) हम जानते हैं कि किसी भी स्थिरांक $k > 0$ के लिए $\lim_{x ightarrow 0^{+}} x[\frac{k}{x}] = k$ होता है। दी गई सीमा पर इसे लागू करने पर: $\lim_{x ightarrow 0^{+}} x \sum_{k=1}^{p} [\frac{k}{x}] = \sum_{k=1}^{p} k = \frac{p(p+1)}{2}$। इसी प्रकार,$\lim_{x ightarrow 0^{+}} x^2 [\frac{k^2}{x^2}] = k^2$। अतः,$\lim_{x}$ ${ightarrow 0^{+}} x^2 \sum_{k=1}^{9} [\frac{k^2}{x^2}] = \sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2 	imes 9 + 1)}{6} = \frac{9 	imes 10 	imes 19}{6} = 285$। असमानता इस प्रकार हो जाती है: $\frac{p(p+1)}{2} - 285 \geq 1$ $\frac{p(p+1)}{2} \geq 286$ $p(p+1) \geq 572$। $p=23$ के लिए,$23 	imes 24 = 552 $p=24$ के लिए,$24 	imes 25 = 600 \geq 572$। अतः,$p$ का न्यूनतम प्राकृतिक मान $24$ है।

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