मान लीजिए कि S,lambda के उन सभी वास्तविक मानो | vedclass

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Question

(C) चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए। मान लीजिए बिंदु $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1

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$\{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$

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(C) चार बिंदुओं के समतलीय होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित सदिशों का सारणिक शून्य होना चाहिए। मान लीजिए बिंदु $A(-\lambda^2, 1, 1)$,$B(1, -\lambda^2, 1)$,$C(1, 1, -\lambda^2)$ और $D(-1, -1, 1)$ हैं।चार बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3), (x_4, y_4, z_4)$ के समतलीय होने की शर्त के अनुसार:$\begin{vmatrix} x_1-x_4 & y_1-y_4 & z_1-z_4 \ x_2-x_4 & y_2-y_4 & z_2-z_4 \ x_3-x_4 & y_3-y_4 & z_3-z_4 \end{vmatrix} = 0$बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर:$\begin{vmatrix} -\lambda^2+1 & 2 & 0 \ 2 & -\lambda^2+1 & 0 \ 2 & 2 & -\lambda^2-1 \end{vmatrix} = 0$तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$(-\lambda^2-1) [(-\lambda^2+1)^2 - 4] = 0$$(-\lambda^2-1) (\lambda^4 - 2\lambda^2 - 3) = 0$$(-\lambda^2-1) (\lambda^2-3) (\lambda^2+1) = 0$चूंकि $\lambda$ वास्तविक है,$\lambda^2+1 
eq 0$। अतः,$\lambda^2-3 = 0$,जिससे $\lambda^2 = 3$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\lambda = \pm \sqrt{3}$।अतः,$S = \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$।

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