ધારો કે $A, A^{\prime}$ એ ઉપવલય $E$ ની મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે,$S, S^{\prime}$ એ નાભિઓ છે અને $B, B^{\prime}$ એ ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ છે. જો $\angle BAB^{\prime}=60^{\circ}$ હોય,તો $\angle SBS^{\prime}$ શોધો.

ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો જેનું કેન્દ્ર $(2, -3)$ છે,એક નાભિ $(3, -3)$ છે અને અનુરૂપ શિરોબિંદુ $(4, -3)$ છે.

જો $\theta$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ પરના કોઈ બિંદુનો ઉત્કેન્દ્રકોણ (eccentric angle) હોય, જેથી કેન્દ્રથી તે બિંદુનું અંતર $5$ હોય, તો $\theta = ......$

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા એ વિધેય $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$,$t \in R$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $a^2 + b^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $4x + 2y + n = 0$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો $n = $

બિંદુ $(h, 0)$ માંથી પસાર થતી એક શિરોલંબ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $R$ માં મળે છે. જો $\Delta(h)=$ ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ,$\Delta_1=\max _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ અને $\Delta_2=\min _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ હોય,તો $\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1-8 \Delta_2=$