ધારો કે $(1, 2)$ એ અતિવલય $H$ ની નાભિ છે અને $x+y+1=0$ એ તેની નિયામિકા છે. જો $\sqrt{3}$ એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રિયતા હોય,તો તેનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $H: \frac{-x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ એ અતિવલય છે,જેની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{3}$ છે અને નાભિલંબની લંબાઈ $4\sqrt{3}$ છે. ધારો કે બિંદુ $(\alpha, 6)$,જ્યાં $\alpha > 0$,$H$ પર આવેલું છે. જો $\beta$ એ બિંદુ $(\alpha, 6)$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર હોય,તો $\alpha^2+\beta$ ની કિંમત શોધો:

જો $(a - 2)x^2 + ay^2 = 4$ એ લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવતું હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:

જો અતિવલય (hyperbola) ની અનુપ્રસ્થ (transverse) અને સંયુગ્મી (conjugate) અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $8$ અને $6$ હોય,તો અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો તફાવત કેટલો થશે?

ધારો કે $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,$a > 0, b > 0$,એક અતિવલય છે કે જેથી તેના મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો $4(2\sqrt{2}+\sqrt{14})$ છે. જો $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{11}}{2}$ હોય,તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

જો અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુથી તેના અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) સુધીના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $6$ હોય અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{3}$ હોય,તો અતિવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.