ધારો કે $f(x) = |x-3| + |x+5|$ અને $A = \{a \in \mathbb{R} \mid \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \text{ અસ્તિત્વ ધરાવે છે} \}$. તો $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$ માં હોય પરંતુ $A$ માં ન હોય તેવી વાસ્તવિક સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધાન $(A)$: $f(x) = |x|$ એ $x = a \neq 0$ આગળ વિકલનીય છે અને $x = 0$ આગળ સતત છે પરંતુ વિકલનીય નથી.
કારણ $(R)$: જો કોઈ વિધેય કોઈ બિંદુએ વિકલનીય હોય,તો તે તે બિંદુએ સતત હોય છે. પરંતુ તેનું પ્રતિપ વિધાન સાચું નથી.

ધારો કે $g: R \rightarrow R$ એ એક વિકલનીય વિધેય છે જ્યાં $g(0)=0, g^{\prime}(0)=0$ અને $g^{\prime}(1) \neq 0$. ધારો કે $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{|x|} g(x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$ અને $h(x)=e^{|x|}$ તમામ $x \in R$ માટે. ધારો કે $(f \circ h)(x)$ એ $f(h(x))$ દર્શાવે છે અને $(h \circ f)(x)$ એ $h(f(x))$ દર્શાવે છે. તો નીચેનામાંથી કયું (કયા) સાચું છે?
$(A)$ $f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે
$(B)$ $h$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે
$(C)$ $f \circ h$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે
$(D)$ $h \circ f$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે

ધારો કે $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે અને $f(x) = \begin{cases} 4x^2 + [2x]x, & \text{જો } x \in [-\frac{1}{2}, 0) \\ ax^2 - bx, & \text{જો } x \in [0, \frac{1}{2}) \end{cases}$. તો:

$x = 1$ બિંદુએ,આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x^3 - 1; & 1 < x < \infty \\ x - 1; & -\infty < x \le 1 \end{cases}$ એ

જો $f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 1 + \sin x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2} \end{cases}$ હોય,તો $f'(0) = $