मान लीजिए कि $A(1, 2)$,$B(4, -4)$,और $C(2, 2\sqrt{2})$ परवलय $y^2 = 4x$ पर स्थित बिंदु हैं। यदि $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल और परवलय पर $A, B, C$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल दर्शाते हैं,तो $\alpha \beta =$

यदि $(2,3)$ एक परवलय की नाभि (focus) है और $x-y+3=0$ उसकी नियता (directrix) है,तो परवलय के शीर्ष (vertex) पर खींची गई स्पर्श रेखा का समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए कि $P$ और $Q$ परवलय $y^{2}=4x$ पर स्थित बिंदु हैं, इस प्रकार कि रेखाखंड $PQ$ शीर्ष पर समकोण बनाता है। यदि $PQ$ परवलय के अक्ष को $R$ पर काटता है, तो शीर्ष से $R$ की दूरी क्या है?

दो परवलयों की नाभि समान है। यदि उनकी नियताएँ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष हैं,तो उनकी उभयनिष्ठ जीवा की ढाल क्या है?

यदि परवलय $y^2 = 4x$ के दो अभिलंब जो बिंदु $(15, 12)$ से गुजरते हैं,$4x + y = 72$ और $3x - y = 33$ हैं,तो तीसरा अभिलंब ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$ परवलय $y^2=x$ की उन जीवाओं के मध्य-बिंदुओं का बिंदुपथ दर्शाता है,जिनके लिए परवलय और जीवा के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{4}{3}$ है। मान लीजिए $R$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित वह क्षेत्र है,जो परवलय $y^2=x$,वक्र $S$,और रेखाओं $x=1$ तथा $x=4$ द्वारा घिरा है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) \ (4, \sqrt{3}) \in S$
$(B) \ (5, \sqrt{2}) \in S$
$(C) R$ का क्षेत्रफल $\frac{14}{3}-2 \sqrt{3}$ है
$(D) R$ का क्षेत्रफल $\frac{14}{3}-\sqrt{3}$ है