माना (x, y) in (R times R) और vec{a} = x hat{ | vedclass

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Question

(D) लैग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास $|\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ है। दिया गया

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एक वृत्त

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(D) लैग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास $|\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$ है। दिया गया है कि $\vec{a} = x \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 6 \hat{i} - y \hat{j} + 2 \hat{k}$। $|\vec{a}|^2 = x^2 + 2^2 + (-1)^2 = x^2 + 5$। $|\vec{b}|^2 = 6^2 + (-y)^2 + 2^2 = 36 + y^2 + 4 = y^2 + 40$। अतः, $|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (x^2 + 5)(y^2 + 40) = f(x) g(y)$। इसलिए, $f(x) = x^2 + 5$ और $g(y) = y^2 + 40$। दिया गया समीकरण $f(x) + g(y) - 46 = 0$ है। मान रखने पर: $(x^2 + 5) + (y^2 + 40) - 46 = 0$। $x^2 + y^2 + 45 - 46 = 0$। $x^2 + y^2 = 1$। यह $(0, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

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यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{d}$ इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$,तो:

यदि सदिश $\bar{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\bar{b}=2\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{c}=m\hat{i}+\hat{j}+n\hat{k}$ परस्पर लंबवत हैं,तो $(m, n)$ है

यदि $\vec{a}=5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$ है,तो दर्शाइए कि सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ परस्पर लंब हैं।

यदि $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ है,तो $3a + 4b + 12c$ का अधिकतम संभव मान क्या होगा? (जहाँ $a, b, c \in \mathbb{R}$)-

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