माना a = sin^2 x hat{i} + cos^2 x hat{j} + ha | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$.आसन्न भुजाओं $u$ और $v$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|u 	imes v|$ होता है।$

Vedclass · Accepted Answer

$[3, 4]$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$.आसन्न भुजाओं $u$ और $v$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|u 	imes v|$ होता है।$1$. प्रथम समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a 	imes \hat{i}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) 	imes \hat{i}| = |-\cos^2 x \hat{k} + \hat{j}| = \sqrt{\cos^4 x + 1}$.अतः, $|a 	imes \hat{i}|^2 = \cos^4 x + 1$.$2$. द्वितीय समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a 	imes \hat{j}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) 	imes \hat{j}| = |\sin^2 x \hat{k} - \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + 1}$.अतः, $|a 	imes \hat{j}|^2 = \sin^4 x + 1$.$3$. तृतीय समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $|a 	imes \hat{k}| = |(\sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}) 	imes \hat{k}| = |-\sin^2 x \hat{j} + \cos^2 x \hat{i}| = \sqrt{\sin^4 x + \cos^4 x}$.अतः, $|a 	imes \hat{k}|^2 = \sin^4 x + \cos^4 x$.क्षेत्रफलों के वर्गों का योग $A = |a 	imes \hat{i}|^2 + |a 	imes \hat{j}|^2 + |a 	imes \hat{k}|^2 = (\cos^4 x + 1) + (\sin^4 x + 1) + (\sin^4 x + \cos^4 x) = 2 + 2(\sin^4 x + \cos^4 x)$.$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:$A = 2 + 2(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)) = 4 - \sin^2(2x)$.चूँकि $0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$, इसलिए $3 \leq 4 - \sin^2(2x) \leq 4$.अतः, $A \in [3, 4]$.

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