मान लीजिए f: X rightarrow X इस प्रकार है कि स | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि सभी $x \in X$ के लिए $f(f(x)) = x$ है। एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। दोनों पक्षों पर $f$ ल

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$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है

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(D) दिया गया है कि सभी $x \in X$ के लिए $f(f(x)) = x$ है। एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। दोनों पक्षों पर $f$ लागू करने पर, हमें $f(f(x_1)) = f(f(x_2))$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(f(x)) = x$ है, इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ है। अतः, $f$ एकैकी है। आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए: किसी भी $y \in X$ के लिए, मान लीजिए $x = f(y)$ है। तब $f(x) = f(f(y)) = y$ होगा। चूँकि प्रत्येक $y \in X$ के लिए, एक ऐसा $x \in X$ मौजूद है जिसके लिए $f(x) = y$ है, इसलिए $f$ आच्छादक है। अतः, $f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।

मान लीजिए $f: X \rightarrow X$ इस प्रकार है कि सभी $x \in X$ और $X \subseteq \mathbb{R}$ के लिए $f(f(x)) = x$ है। तब:

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मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} 2x; & x > 3 \\ x^2; & 1 < x \leq 3 \\ 3x; & x \leq 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो $f(-1) + f(2) + f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक फलन $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} 2n, & n = 2, 4, 6, 8, \dots \\ n-1, & n = 3, 7, 11, 15, \dots \\ \frac{n+1}{2}, & n = 1, 5, 9, 13, \dots \end{cases}$
तो,$f$ है

निम्नलिखित में से कौन सा फलन एकैकी (injective) है लेकिन आच्छादक (surjective) नहीं है?

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