मान लीजिए $p(x)$ न्यूनतम घात वाला एक वास्तविक बहुपद है जिसका $x=1$ पर स्थानीय उच्चतम और $x=3$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है। यदि $p(1)=6$ और $p(3)=2$ है, तो $p^{\prime}(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक खिड़की एक आयत के ऊपर बने अर्धवृत्ताकार भाग के रूप में है। खिड़की की कुल परिधि $10 \, m$ है। खिड़की से अधिकतम प्रकाश प्रवेश करने के लिए उसके आयाम ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत सबसे बड़े शंकु का आयतन गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ होता है।

मान लीजिए $a > 0$ है। यदि फलन $f(x) = 6x^3 - 45ax^2 + 108a^2x + 1$ अपने स्थानीय उच्चतम और न्यूनतम मान क्रमशः $x_1$ और $x_2$ बिंदुओं पर प्राप्त करता है,जहाँ $x_1x_2 = 54$ है,तो $a + x_1 + x_2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$10$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि पहले भाग का दोगुना और दूसरे भाग का वर्ग का योग न्यूनतम हो,तो वे संख्याएँ क्रमशः हैं:

एक नियमित आयताकार पिरामिड की पार्श्व भुजा (lateral edge) $a \text{ cm}$ लंबी है। पार्श्व भुजा आधार के समतल के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। $\alpha$ का वह मान जिसके लिए पिरामिड का आयतन अधिकतम है,है