एक नियमित आयताकार पिरामिड की पार्श्व भुजा (la | vedclass

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Question

(C) माना पिरामिड की ऊँचाई $h$ है और आधार के केंद्र से शीर्ष तक की दूरी $x$ है। दी गई पार्श्व भुजा $a$ के लिए,$h = a \sin \alpha$ और $x = a \cos \alpha

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$\cot^{-1}\sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना पिरामिड की ऊँचाई $h$ है और आधार के केंद्र से शीर्ष तक की दूरी $x$ है। दी गई पार्श्व भुजा $a$ के लिए,$h = a \sin \alpha$ और $x = a \cos \alpha$ है।आधार एक वर्ग है जिसका विकर्ण $2x$ है। वर्गाकार आधार का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} 	imes (	ext{विकर्ण})^2 = \frac{1}{2} 	imes (2x)^2 = 2x^2$ है।पिरामिड का आयतन $V = \frac{1}{3} A h = \frac{1}{3} (2x^2) h$ है।$x = a \cos \alpha$ और $h = a \sin \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर:$V(\alpha) = \frac{2}{3} (a \cos \alpha)^2 (a \sin \alpha) = \frac{2}{3} a^3 \sin \alpha \cos^2 \alpha$.$V$ को अधिकतम करने के लिए,$\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखने पर:$V'(\alpha) = \frac{2}{3} a^3 [\cos \alpha \cdot \cos^2 \alpha + \sin \alpha \cdot 2 \cos \alpha (-\sin \alpha)] = 0$.$\cos^3 \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha = 0$.चूँकि $\cos \alpha 
eq 0$,इसलिए $\cos^2 \alpha = 2 \sin^2 \alpha$,जिसका अर्थ है $	an^2 \alpha = \frac{1}{2}$,या $	an \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$.अतः,$\alpha = 	an^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \cot^{-1}(\sqrt{2})$.

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