मान लीजिए $729, 81, 9, 1, \dots$ एक अनुक्रम है और $P_{n}$ इस अनुक्रम के प्रथम $n$ पदों का गुणनफल दर्शाता है। यदि $2\sum_{n=1}^{40}(P_{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{3^{\alpha}-1}{3^{\beta}}$ और $\gcd(\alpha,\beta)=1$ है, तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि तीन संख्याएँ $G.P.$ में हैं,तो उनके लघुगणक (logarithms) किसमें होंगे?

मान लीजिए कि $G_1$ और $G_2$ क्रमशः दो श्रेणियों $x_1, x_2, \dots, x_n$ और $y_1, y_2, \dots, y_n$ के गुणोत्तर माध्य (geometric means) हैं। यदि $G$,श्रेणी $\frac{x_i}{y_i}$ (जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$) का गुणोत्तर माध्य है,तो $G$ किसके बराबर है?

एक $G.P.$ का $12$ वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका $8$ वाँ पद $192$ है और सार्व अनुपात $2$ है।

मान लीजिए कि चार भिन्न धनात्मक संख्याएँ $a_1, a_2, a_3, a_4$ एक $G.P.$ में हैं। मान लीजिए $b_1=a_1, b_2=b_1+a_2, b_3=b_2+a_3$ और $b_4=b_3+a_4$.
$STATEMENT-1$ : संख्याएँ $b_1, b_2, b_3, b_4$ न तो $A.P.$ में हैं और न ही $G.P.$ में हैं।
$STATEMENT-2$ : संख्याएँ $b_1, b_2, b_3, b_4$ $H.P.$ में हैं।

यदि $a = \sum_{n=0}^\infty x^n$,$b = \sum_{n=0}^\infty y^n$,और $c = \sum_{n=0}^\infty (xy)^n$,जहाँ $|x|, |y| < 1$,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?