ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ sec x frac{dy}{d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(NONE) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ છે.
$\sec x$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \sin x \co

Vedclass · Accepted Answer

$2 - \frac{9e}{4}$

Vedclass · Answer

(NONE) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ છે.
$\sec x$ વડે ભાગતા, આપણને $\frac{dy}{dx} - 2y \cos x = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = -2 \cos x$ અને $Q = 2 \cos x + 3 \sin x \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -2 \cos x dx} = e^{-2 \sin x}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y e^{-2 \sin x} = \int (2 \cos x + 3 \sin x \cos x) e^{-2 \sin x} dx + C$.
ધારો કે $u = -2 \sin x$, તો $du = -2 \cos x dx$, તેથી $\cos x dx = -\frac{du}{2}$.
સંકલન $\int (-1 - \frac{3}{2} u) e^u (-\frac{du}{2}) = \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} u) e^u du = \frac{1}{2} e^u + \frac{3}{4} (u e^u - e^u) + C = \frac{3}{4} u e^u - \frac{1}{4} e^u + C$ બને છે.
$u = -2 \sin x$ પાછું મૂકતા: $y e^{-2 \sin x} = -\frac{3}{2} \sin x e^{-2 \sin x} - \frac{1}{4} e^{-2 \sin x} + C$.
$y = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} + C e^{2 \sin x}$.
$y(0) = -\frac{7}{4}$ આપેલ હોવાથી, $-\frac{7}{4} = 0 - \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
તેથી, $y(x) = -\frac{3}{2} \sin x - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} e^{2 \sin x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે, $\sin x = \frac{1}{2}$, તેથી $y(\frac{\pi}{6}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3e}{2} = -1 - \frac{3e}{2}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sec x \frac{dy}{dx} - 2y = 2 + 3 \sin x$ નો ઉકેલ છે, જ્યાં $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ અને $y(0) = -\frac{7}{4}$ છે. તો $y(\frac{\pi}{6})$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{1}{x^2}+x\right) \frac{d y}{d x}+3 y=1$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left(1-x^2\right) \frac{d y}{d x}+x y=\frac{x^4}{\left(1+x^5\right)}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $x=x(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(0) = 2$ હોય,તો $x(1)$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module