ધારો કે a_{1}=1 અને n ge 1 માટે, a_{n+1} = fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.આને $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પુનરાવર્તિત સંબંધ: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.આને $a_{n+1} - \frac{1}{2}a_{n} = \frac{2}{(n+1)^{2}} - \frac{1}{n^{2}}$ તરીકે લખી શકાય.ધારો કે $b_{n} = a_{n} - \frac{2}{n^{2}}$. તેથી $a_{n} = b_{n} + \frac{2}{n^{2}}$.આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા:$b_{n+1} + \frac{2}{(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}(b_{n} + \frac{2}{n^{2}}) + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{1}{n^{2}} - \frac{2}{(n+1)^{2}} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$.જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{(n+1)^{2} - 2n^{2} + n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n} + \frac{n^{2}+2n+1-2n^{2}+n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{1}{2}b_{n}$.અહીં $b_{1} = a_{1} - \frac{2}{1^{2}} = 1 - 2 = -1$, તેથી $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = -(\frac{1}{2})^{n-1}$.આમ, $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} -(\frac{1}{2})^{n-1} = -\frac{1}{1 - 1/2} = -2$.તેથી, $|\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}| = |-2| = 2$.

ધારો કે $a_{1}=1$ અને $n \ge 1$ માટે, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + \frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}$. તો $|\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}-\frac{2}{n^{2}})|$ ની કિંમત ........... થાય.

Similar Questions

ધારો કે $i = 1, 2, \ldots, 20$ માટે $a_i = i + \frac{1}{i}$ છે. ધારો કે $p = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} a_i$ અને $q = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} \frac{1}{a_i}$ છે. તો,

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 16 + 9 + \dots$ શ્રેઢીના પ્રથમ $40$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો $a_1 = a_2 = 2$ અને $n > 2$ માટે $a_n = a_{n-1} - 1$ હોય,તો $a_5$ ની કિંમત શોધો.

જો $\log _e a, \log _e b, \log _e c$ એ $A.P.$ માં હોય અને $\log _e a - \log _e 2b, \log _e 2b - \log _e 3c, \log _e 3c - \log _e a$ પણ $A.P.$ માં હોય,તો $a : b : c$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module