मान लीजिए f(x) = lim_{y to 0} frac{(1 - cos(x | vedclass

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Question

(C) सीमा $f(x) = \lim_{y 	o 0} \frac{(1 - \cos(xy))	an(xy)}{y^3}$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम $(xy)^3$ से गुणा और भाग करते हैं:$f(x) = \lim_{y 	o

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$3$

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(C) सीमा $f(x) = \lim_{y 	o 0} \frac{(1 - \cos(xy))	an(xy)}{y^3}$ का मूल्यांकन करने के लिए, हम $(xy)^3$ से गुणा और भाग करते हैं:$f(x) = \lim_{y 	o 0} \left( \frac{1 - \cos(xy)}{(xy)^2} \cdot \frac{	an(xy)}{xy} \cdot \frac{x^3 y^3}{y^3} ight)$मानक सीमाओं $\lim_{	heta 	o 0} \frac{1 - \cos 	heta}{	heta^2} = \frac{1}{2}$ और $\lim_{	heta 	o 0} \frac{	an 	heta}{	heta} = 1$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:$f(x) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x^3 = \frac{x^3}{2}$.अब, हमें समीकरण $f(x) = \sin x$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात करनी है, जो $\frac{x^3}{2} = \sin x$ या $x^3 = 2 \sin x$ है।मान लीजिए $g(x) = x^3 - 2 \sin x$. हम वे मूल खोजते हैं जहाँ $g(x) = 0$ है।$x = 0$ पर, $g(0) = 0 - 2(0) = 0$. अतः, $x = 0$ एक हल है।$x > 0$ के लिए, $x^3 = 2 \sin x$ का एक धनात्मक हल है क्योंकि $x^3$ सख्ती से बढ़ रहा है और $2 \sin x$ का मान $2$ से सीमित है।$x  0$. तो $(-t)^3 = 2 \sin(-t) \implies -t^3 = -2 \sin t \implies t^3 = 2 \sin t$. यह एक ऋणात्मक हल देता है।इस प्रकार, कुल $3$ हल हैं: $x = 0$, $x \approx 1.41$, और $x \approx -1.41$.

मान लीजिए $f(x) = \lim_{y \to 0} \frac{(1 - \cos(xy))\tan(xy)}{y^3}$. तो समीकरण $f(x) = \sin x, x \in R$ के हलों की संख्या क्या है?

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