मान लीजिए int_{-2}^{2} (sin |x| + [x sin x]) | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx$.चूँकि $\sin |x|$ और $[x \sin x]$ दोनों सम फलन हैं, इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} (\sin x + [x

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$2$

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(B) मान लीजिए $I = \int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx$.चूँकि $\sin |x|$ और $[x \sin x]$ दोनों सम फलन हैं, इसलिए $I = 2 \int_{0}^{2} (\sin x + [x \sin x]) dx$.सबसे पहले, $\int_{0}^{2} \sin x dx = [-\cos x]_0^2 = 1 - \cos 2$.इसके बाद, $[0, 2]$ अंतराल पर $[x \sin x]$ के लिए, $x \sin x$ का मान $x=0$ पर $0$ से शुरू होकर $x=\pi/2 \approx 1.57$ पर अधिकतम होता है। $[x \sin x] = 1$ के लिए $x \in [1, 2]$ लेने पर, $\int_{0}^{2} [x \sin x] dx = 1$.अतः, $I = 2(1 - \cos 2) + 2(1) = 4 - 2 \cos 2$.$4 - 2 \cos 2$ की तुलना $2(3 - \cos 2) + \beta = 6 - 2 \cos 2 + \beta$ से करने पर, $\beta = -2$ प्राप्त होता है।इस प्रकार, $\beta \sin(\beta/2) = -2 \sin(-1) = 2 \sin(1)$।

मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $f$ और $g$ अंतराल $[0, a]$ पर सतत फलन हैं जो $f(x) = f(a - x)$ और $g(x) + g(a - x) = 2$ को संतुष्ट करते हैं,तो $\int_0^a f(x)g(x) dx = $

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin 2x} \, dx = \alpha + \beta \sqrt{2} + \gamma \sqrt{3}$,जहाँ $\alpha, \beta$ और $\gamma$ परिमेय संख्याएँ हैं,तो $3\alpha + 4\beta - \gamma$ का मान .......... है।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से अधिक नहीं है,तो $\int_0^n {\{x - [x]\} \,dx}$ का मान क्या होगा?

$f(x)$ के संभावित फलनों में से एक जो $\int_{-2}^{2} f(x) dx = 0$ को संतुष्ट करता है, वह है

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