मान लीजिए e_1 और e_2 समीकरण x^2 - ax + 2 = 0 | vedclass

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Question

(C) अतिपरवलय के लिए, उत्केंद्रता $e > 1$ होती है। दीर्घवृत्त के लिए, $0 < e < 1$ होती है। समीकरण $x^2 - ax + 2 = 0$ के मूल $e_1, e_2$ हैं।
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(C) अतिपरवलय के लिए, उत्केंद्रता $e > 1$ होती है। दीर्घवृत्त के लिए, $0 < e < 1$ होती है। समीकरण $x^2 - ax + 2 = 0$ के मूल $e_1, e_2$ हैं। योग $e_1 + e_2 = a$ और गुणनफल $e_1 e_2 = 2$ है। $S_1$ के लिए, दोनों $e_1, e_2 > 1$ हैं। चूंकि $e_1 e_2 = 2$, यदि $e_1 > 1$, तो $e_2 = 2/e_1 < 2$ होगा। साथ ही, $D = a^2 - 8 > 0 \implies a > 2\sqrt{2} \approx 2.828$। $e_1, e_2 > 1$ के लिए, मान लीजिए $f(x) = x^2 - ax + 2$ है। हमें $f(1) > 0$ और शीर्ष $a/2 > 1$ की आवश्यकता है। $f(1) = 1 - a + 2 = 3 - a > 0 \implies a < 3$। अतः, $S_1 = (2\sqrt{2}, 3)$, जिससे $\alpha = 2\sqrt{2}$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है। $S_2$ के लिए, एक मूल $e_1 < 1$ और दूसरा $e_2 > 1$ है। इसका अर्थ है $f(1) < 0 \implies 3 - a < 0 \implies a > 3$। अतः, $\gamma = 3$ है। हमें $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 + 3^2 = 8 + 9 + 9 = 26$ प्राप्त होता है।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$A$. वृत्त	$P$. बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ जिसके लिए रेखा $hx + ky = 1$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को स्पर्श करती है
$B$. परवलय	$Q$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$\|z + 2\| - \|z - 2\| = \pm 3$ को संतुष्ट करता है
$C$. अतिपरवलय	$R$. शांकव की उत्केंद्रता अंतराल $[1, \infty)$ में स्थित है
	$S$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$Re(z + 1)^2 = \|z\|^2 + 1$ को संतुष्ट करता है

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