मान लीजिए A = begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 1 & | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले, $A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.चूंकि $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है, गुणधर्म $adj(adj(A)) = |A|^{n-2}

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$4$

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(B) सबसे पहले, $A$ का सारणिक ज्ञात करें: $|A| = -1(0-0) - 1(1-0) - 1(0-0) = -1$.चूंकि $A$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है, गुणधर्म $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$ लागू होता है, जहाँ $n=3$ है। अतः, $adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = (-1)A = -A$.आगे, हम जानते हैं कि $adj(A) = |A|A^{-1}$ होता है। इसलिए, $adj(A)(adj(adj(A))) = (|A|A^{-1})(|A|A) = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.दिया गया समीकरण $A^2 - \alpha A + \beta I = M$ बन जाता है, जहाँ $M = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \ -2 & 0 & -1 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है।$A^2$ की गणना करें: $\begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \alpha \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \ -2 & 0 & -1 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.अवयवों की तुलना करने पर, $(1, 2)$ स्थान पर अवयव के लिए: $-1 - \alpha = -2 \implies \alpha = 1$.$(1, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 + \alpha = 2 \implies \alpha = 1$.$(3, 3)$ स्थान पर अवयव के लिए: $1 - \alpha + \beta = -1 \implies 1 - 1 + \beta = -1 \implies \beta = -1$.अतः, $(\alpha - \beta)^2 = (1 - (-1))^2 = 2^2 = 4$.

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