मान लीजिए vec{a}, vec{b} और vec{c} तीन शून्ये | vedclass

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Question

(B) सदिश त्रिक गुणनफल की सर्वसमिका के अनुसार: $(\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{

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$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Vedclass · Answer

(B) सदिश त्रिक गुणनफल की सर्वसमिका के अनुसार: $(\vec{a} 	imes \vec{b}) 	imes \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.इसे दिए गए व्यंजक के बराबर रखने पर: $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}| \vec{a}$.चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शून्येतर हैं और कोई भी दो संरेख नहीं हैं,इसलिए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। समीकरण को संतुष्ट करने के लिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के गुणांक शून्य होने चाहिए.अतः,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $-(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.अदिश गुणनफल की परिभाषा $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos 	heta$ का उपयोग करने पर:$-|\vec{b}| |\vec{c}| \cos 	heta = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.$|\vec{b}| |\vec{c}|$ से विभाजित करने पर,हमें $\cos 	heta = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है.चूंकि $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$,इसलिए $\sin^2 	heta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.अतः,$\sin 	heta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (क्योंकि $	heta \in [0, \pi]$,$\sin 	heta \ge 0$).

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