ધારો કે f(x) એક વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.$x=1, y=1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:$f'

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{f'(1)}{x}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ છે.$x=1, y=1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = f(1) + f(1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(1) = 0$.વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ગુણધર્મ $f(xy) = f(x) + f(y)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $f(x+h) = f(x(1 + \frac{h}{x})) = f(x) + f(1 + \frac{h}{x})$ લખી શકીએ છીએ.આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x) + f(1 + \frac{h}{x}) - f(x)}{h}$$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(1 + \frac{h}{x})}{h}$કારણ કે $f(1) = 0$,આપણે $f(1 + \frac{h}{x}) = f(1 + \frac{h}{x}) - f(1)$ લખી શકીએ છીએ.ધારો કે $t = \frac{h}{x}$. જેમ $h 	o 0$,તેમ $t 	o 0$.$f'(x) = \lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{xt} = \frac{1}{x} \lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t}$$x=1$ આગળ વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim_{t 	o 0} \frac{f(1+t) - f(1)}{t} = f'(1)$.તેથી,$f'(x) = \frac{f'(1)}{x}$.

ધારો કે $f(x)$ એક વિકલનીય વિધેય છે જે તમામ $x > 0, y > 0$ માટે સમીકરણ $f(xy) = f(x) + f(y)$ નું પાલન કરે છે,તો $f'(x)$ બરાબર શું થાય?

Similar Questions

જો $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ માટે $f(x_1) - f(x_2) = f\left( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \right)$ હોય,તો $f(x)$ શું છે?

$f(f(x))=x+f(x)$ નું સમાધાન કરતા વાસ્તવિક સુરેખ વિધેયો $f(x)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x+y)+f(x-y)=2 f(x) f(y)$ અને $f\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. તો,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{\sin (k) \sin (k+f(k))}$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો $(f(x))^2 = f(x^2) + f(1)$ સંબંધ સાચો હોય,તો $f(x)$ શોધો.

જો $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ એ $f(x) = x^{9} - 11 x^{8} - 2 x^{7} + 22 x^{6} + x^{4} - 12 x^{3} + 11 x^{2} + x - 3, \forall x \in \mathbb{Z}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f(11) = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module