मान लीजिए कि एक फलन f:[0,5] rightarrow R सतत | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $F(x) = \int_{1}^{x} t^{2} g(t) dt$. कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x^{2} g(x) = x^{2} \int_{1}^{x} f(u) du$. $x=1$ पर,$F'(1)

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स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु

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(A) दिया गया है $F(x) = \int_{1}^{x} t^{2} g(t) dt$. कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x^{2} g(x) = x^{2} \int_{1}^{x} f(u) du$. $x=1$ पर,$F'(1) = 1^{2} \int_{1}^{1} f(u) du = 0$. अतः,$x=1$ एक क्रांतिक बिंदु है। अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $F''(x) = \frac{d}{dx} [x^{2} g(x)] = x^{2} g'(x) + 2x g(x)$. चूँकि $g(t) = \int_{1}^{t} f(u) du$,इसलिए $g'(t) = f(t)$. अतः,$F''(x) = x^{2} f(x) + 2x \int_{1}^{x} f(u) du$. $x=1$ पर मान रखने पर: $F''(1) = 1^{2} f(1) + 2(1) \int_{1}^{1} f(u) du = f(1) + 0 = 3$. चूँकि $F'(1) = 0$ और $F''(1) = 3 > 0$,द्वितीय अवकलज परीक्षण के अनुसार,$x=1$ स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है।

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