मान लीजिए कि एक त्रिभुज ABC के लिए,overline{A | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,इसलिए $\overline{BC} = -\overline{AB} - \overline{CA}$.$\overline{BC} = -

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$60$

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(A) दिया गया है कि $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,इसलिए $\overline{BC} = -\overline{AB} - \overline{CA}$.$\overline{BC} = -(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - (4\hat{i} + 3\hat{j} + \delta\hat{k}) = -2\hat{i} - 4\hat{j} - (3 + \delta)\hat{k}$.चूंकि $\overline{CB} = -\overline{BC}$,इसलिए $\overline{CB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (3 + \delta)\hat{k}$.$\overline{CB} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$,$\beta = 4$,और $\gamma = 3 + \delta$ प्राप्त होता है।त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overline{AC} 	imes \overline{AB}| = 5\sqrt{6}$ है।$\overline{AC} = -\overline{CA} = -4\hat{i} - 3\hat{j} - \delta\hat{k}$.$\overline{AC} 	imes \overline{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -4 & -3 & -\delta \ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(\delta - 9) + \hat{j}(2\delta + 12) - 10\hat{k}$.$|\overline{AC} 	imes \overline{AB}|^2 = (\delta - 9)^2 + (2\delta + 12)^2 + 100 = 600$.$\delta^2 + 6\delta - 55 = 0 \Rightarrow (\delta + 11)(\delta - 5) = 0$. चूंकि $\delta > 0$,इसलिए $\delta = 5$.अतः $\gamma = 8$,$\overline{CB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k}$ और $\overline{CA} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.$\overline{CB} \cdot \overline{CA} = (2)(4) + (4)(3) + (8)(5) = 8 + 12 + 40 = 60$.

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$\hat{i} \cdot (\hat{k} \times \hat{j}) + \hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) + \hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \_\_\_\_$

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