मान लीजिए कि वृत्त $C_1: (x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = r_1^2$ और $C_2: (x-8)^2 + (y-\frac{15}{2})^2 = r_2^2$ एक-दूसरे को बिंदु $(6,6)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। यदि बिंदु $(6,6)$,वृत्तों $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,तो $(\alpha+\beta) + 4(r_1^2 + r_2^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक वृत्त $(2,2)$ और $(9,9)$ से होकर गुजरता है और $X$-अक्ष को $P$ पर स्पर्श करता है। यदि $O$ मूल बिंदु है,तो $OP$ का मान ज्ञात कीजिए।

$r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले प्रथम चतुर्थांश में स्थित दो वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं। उनमें से प्रत्येक रेखा $x+y=2$ पर $2$ इकाई का अंतःखंड काटता है। तो $r_1^2+r_2^2-r_1 r_2$ का मान $...........$ है।

एक रेखा $l$ वृत्त $x^2+y^2=61$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $P(-5, 6)$ एक ऐसा बिंदु है कि $PA=PB=10$,तो रेखा $l$ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज $PQR$ के शीर्ष $P$ से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा भुजा $QR$ को बिंदु $S$ पर और त्रिभुज $PQR$ के परिवृत्त को बिंदु $T$ पर काटती है। यदि $S$ परिवृत्त का केंद्र नहीं है,तो:
$(A) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}<\frac{2}{\sqrt{QS \times SR}}$
$(B) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{2}{\sqrt{QS \times SR}}$
$(C) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}<\frac{4}{QR}$
$(D) \frac{1}{PS}+\frac{1}{ST}>\frac{4}{QR}$

उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(3, -1)$ है और जो रेखा $2x - 5y + 18 = 0$ पर $6$ लंबाई की जीवा काटता है।