मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब की लंबाई $10$ है। यदि इसकी उत्केंद्रता फलन $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$,$t \in R$ का न्यूनतम मान है,तो $a^2 + b^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

दीर्घवृत्त $4x^2+9y^2-16x-54y+61=0$ के सापेक्ष बिंदु $(1,3)$ स्थित है

मान लीजिए $S \equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0$ और $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}-1=0$ दो प्रतिच्छेदी दीर्घवृत्त हैं। यदि $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ और $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right)$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदु हैं,तो $\frac{1}{2}\left(a^2 \beta^2+b^2 \alpha^2\right)=$

परवलय $P : y^2 = 4x$ और दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर विचार करें। मान लीजिए कि $P$ और $E$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड उनका उभयनिष्ठ नाभिलंब (latus rectum) है। यदि $E$ की उत्केंद्रता (eccentricity) $e$ है, तो $e^2 + 2\sqrt{2}$ का मान . . . . . . है।

शंकु (conic) $e x^2 + \pi y^2 - 2 e^2 x - 2 \pi^2 y + e^3 + \pi^3 = \pi e$ पर विचार करें।
मान लीजिए कि $P$ शंकु पर कोई बिंदु है और $S_1, S_2$ शंकु की नाभियाँ (foci) हैं,तो $(P S_1 + P S_2)$ का अधिकतम मान क्या है?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ के लिए $\frac{1}{3}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा,वृत्त $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$ का अभिलंब है,तो $a^2$ किस अंतराल में स्थित है?