मान लीजिए कि रेखा L,(1,1,1) से होकर गुजरती है | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए कि रेखा $L$,$C(1,1,1)$ से होकर गुजरती है।मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ को बिंदु

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$(7,15,13)$

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए कि रेखा $L$,$C(1,1,1)$ से होकर गुजरती है।मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ को बिंदु $A(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ पर प्रतिच्छेद करती है।मान लीजिए कि रेखा $L$,रेखा $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ को बिंदु $B(\mu+3, 2\mu+4, \mu)$ पर प्रतिच्छेद करती है।चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,$AC$ और $BC$ के दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए।$AC$ के दिक अनुपात $(2\lambda+1-1, 3\lambda-1-1, 4\lambda+1-1) = (2\lambda, 3\lambda-2, 4\lambda)$ हैं।$BC$ के दिक अनुपात $(\mu+3-1, 2\mu+4-1, \mu-1) = (\mu+2, 2\mu+3, \mu-1)$ हैं।चूंकि $A, B, C$ संरेख हैं,$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{3\lambda-2}{2\mu+3} = \frac{4\lambda}{\mu-1} = k$.$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{4\lambda}{\mu-1}$ से,हमें $\frac{1}{\mu+2} = \frac{2}{\mu-1} \Rightarrow \mu-1 = 2\mu+4 \Rightarrow \mu = -5$ प्राप्त होता है।$B$ के निर्देशांकों में $\mu = -5$ रखने पर,हमें $B(-5+3, 2(-5)+4, -5) = (-2, -6, -5)$ प्राप्त होता है।रेखा $L$ के दिक अनुपात ($C(1,1,1)$ और $B(-2, -6, -5)$ से गुजरने वाली) $(1-(-2), 1-(-6), 1-(-5)) = (3, 7, 6)$ हैं।रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-1}{6}$ है।विकल्पों की जाँच करने पर:$(7, 15, 13)$ के लिए: $\frac{7-1}{3} = 2, \frac{15-1}{7} = 2, \frac{13-1}{6} = 2$. चूंकि सभी अनुपात समान हैं,$(7, 15, 13)$ रेखा $L$ पर स्थित है।

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यदि रेखा $\frac{2-x}{3}=\frac{3y-2}{4\lambda+1}=4-z$ रेखा $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{1-2y}{6}=\frac{5-z}{7}$ के साथ समकोण बनाती है,तो $4\lambda+9\mu$ का मान ज्ञात कीजिए:

$x = ay + b$ और $z = cy + d$ समीकरणों द्वारा निरूपित रेखा के दिक-अनुपात (direction ratios) ज्ञात कीजिए।

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