ધારો કે વિકલ સમીકરણ x dy - y dx = sqrt{x^{2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ હોવાથી): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$. બંને બાજુ $x^{2}$ વડે ભાગતા ($x > 0$ હોવાથી): $\frac{x dy - y dx}{x^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2}} dx$. આને આ રીતે લખી શકાય: $d\left(\frac{y}{x}\right) = \sqrt{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{x} dx$. બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 + (\frac{y}{x})^{2}}} = \int \frac{1}{x} dx$. પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{du}{\sqrt{1 + u^{2}}} = \ln|u + \sqrt{1 + u^{2}}| + C$ નો ઉપયોગ કરતા: $\ln\left(\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}\right) = \ln x + C$. $y(1) = 0$ આપેલ છે, તેથી $x = 1, y = 0$ મૂકતા: $\ln(0 + \sqrt{1 + 0}) = \ln(1) + C \Rightarrow 0 = 0 + C \Rightarrow C = 0$. તેથી, $\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}} = x$. $x$ વડે ગુણતા: $y + \sqrt{x^{2} + y^{2}} = x^{2}$. $y(3)$ શોધવા માટે, $x = 3$ મૂકતા: $y + \sqrt{9 + y^{2}} = 9$. $\sqrt{9 + y^{2}} = 9 - y$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 + y^{2} = 81 - 18y + y^{2}$. $18y = 72 \Rightarrow y = 4$.

ધારો કે વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx$, જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 0$, નો ઉકેલ વક્ર $y = y(x)$ છે. તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ નો $x=1, y=0$ આગળનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શું દર્શાવે છે?

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એક સતત વિધેય છે જે $f(x) = \int_0^x f(t) \, dt$ નું પાલન કરે છે. તો $f(\ln 5)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\left( {1 + {e^{2y}}} \right){e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}dx - \left( {1 + {x^2}} \right)\left( {{e^y} + {{\left( {{e^y} - 1} \right)}^2}} \right)dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y dx + (1 + x^2) \tan^{-1} x dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $dy=e^{\alpha x+y} dx$ નો ઉકેલ છે; $\alpha \in N$. જો $y(\log_{e} 2)=\log_{e} 2$ અને $y(0)=\log_{e}(\frac{1}{2})$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $.....$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module