मान लीजिए कि एक $A.P.$ के $n, 2n, 3n$ पदों का योग क्रमशः $S_{1}, S_{2}$ और $S_{3}$ है। सिद्ध कीजिए कि $S_{3} = 3(S_{2} - S_{1})$ है।

मान लीजिए कि $a$ प्रथम पद है और $d$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
$S_{1} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ $(1)$
$S_{2} = \frac{2n}{2}[2a + (2n - 1)d] = n[2a + (2n - 1)d]$ $(2)$
$S_{3} = \frac{3n}{2}[2a + (3n - 1)d]$ $(3)$
अब,$S_{2} - S_{1}$ की गणना करें:
$S_{2} - S_{1} = n[2a + (2n - 1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d] = \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d]$
अतः,$3(S_{2} - S_{1}) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d] = S_{3}$ है।
इस प्रकार,परिणाम सिद्ध हुआ।